FACTORIZACIÓN
Proceso inverso a la multiplicación, que consiste en encontrar factores de un número dado.
POLINOMIO COMO FACTOR COMUN.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
ab + ac = a(b + c)
(2) (3) + (2) (5) = 2 (3 + 5)
6 + 10 = 2 • 8
16 = 16
a b − a c = a•(b − c)
(2)•(5) – (2)•(3) = 2•(5 − 3)
10 − 6 = 2 • 2
4 = 4
Sacar factor común es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a•x + b•x + c•x = x (a + b + c)
Ejemplo. 10b + 30ab =
Factorización de los coeficientes:
En este caso se tiene que hallar el m.c.d (10,30), descomponiendo en factores primos y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia se obtiene que m.c.d (10,30)=10
Factorización de la parte literal:
En este caso el único factor común es b. La solución entonces viene dada por:
10b + 30ab = 10•b + 3•10•a•b = 10•b (1 + 3•a)
Ejemplo. 12bx + 8abx – 20bcx =
Factorización de los coeficientes:
Hallar el m.c.d (12, 8, 20), descomponiendo en factores primos y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia se obtiene =4
Factorización de la parte literal:
En este caso el único factor común es b. La solución entonces viene dada por:
12bx + 8abx – 20bcx = 4•3•b•x + 4•2•a•b•x – 4•5•b•c•x = 4•b•x (3 + 2•a – 5•c)
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomio iguales.
Ejemplo:
(x + y)2 = (x + y) (x +y)= x2 + 2xy +y2
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer términos son cuadrados perfectos y positivos, y el segundo es el doble producto de sus raíces cuadradas.
REGLA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término.
El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplo:
25x2 + 10xy + y2=
Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto. Cálculo de las raíces cuadradas del primer y tercer término.
25x2 = 5x y2 = y
Doble producto de las raíces: 2 (5x) (y)= 10xy
Si es un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto aplicando la regla para factorizar, tenemos:
25x2 + 10xy + y2 = (5x + y)2
REGLA PARA FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.
Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza así:
X2 – y2 = (x + y) )x – y)
REGLA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO DE LA FORMA: x2 + bx + c
1) Se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término.
3) Si los dos factores binomios tienen en medios signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio, mismos que serán los segundos términos delos binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en medios signos distintos, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor es el segundo término del segundo binomio.
x2 + 3x + 10 = (x + 5)(x + 2)
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades. (binomios conjugados)
El producto dos binomios con término común es igual al cuadrado del término común más la suma algebraica de los no comunes multiplicado por el término común más el producto de los no comunes
